martes, diciembre 01, 2009

Del orden al caos (entrevista a Ian Stewart)

Aunque Ian Stewart es principalmente conocido por sus deliciosos libros de divulgación matemática, dentro de la comunidad científica destaca por una carrera que ha avanzado desde el corazón de la matemática pura hacia las fronteras de la ciencia de la Complejidad. En la entrevista que sigue, hacemos exactamente el mismo viaje, desde el nucleo de la racionalidad humana hasta las estructuras físicas, biológicas y sociales, cuya aparente diversidad y desorden oculta un orden recóndito. Este orden resulta de las propiedades matemáticas de ciertos procesos que encontramos en muchos campos de la naturaleza: la auto-organización de un ser vivo, ya sea a nivel celular o del conjunto del organismo, las estructuras ecológicas y propia evolución biológica, son procesos complejos.

Durante los siglos que transcurrieron entre Newton y la aparición de la teoria del Caos, los científicos en general consiguieron desarrollar la ciencia moderna y sobre todo la tecnología simplemente controlando unas pocas estructuras sencillas: nuestros automoviles contienen cilindros y engranajes; los perfiles de las alas tienen estructuras geométricas sencillas, que garantizan la controlabilidad del vuelo; incluso nuestros rascacielos no son más que cubos de metal y hormigon. En conjunto toda la tecnología humana desde las catedrales al Apollo XI funciona como una serie de experimentos controlados, cuidosamente diseñados para permanecer tan simples como nuestras propias matemáticas, y combinados entre si para satisfacer nuestras necesidades. Nadie puede negar la efectividad de esta estrategia, pero para comprender fenómenos irremediablemente complejos, (desde el clima a la economía, pasando por la genética) era necesario atreverse a tratar de comprender la naturaleza en sus propios términos.

Y esos términos son los de la complejidad. Donde esta aparece, (desde los huracanes y los terremotos hasta las crisis financieras) estamos casi tan indefensos como hace cinco siglos. Es posible que eso esté a punto de cambiar.

El Profesor Stewart ha tenido la amabilidad de respondernos unas preguntas.

En inglés:

1.-Our first question in this interview, is a classical one, that some of the giants in whose shoulders we stand, answered before. Beyond practical reasons, Why mathematics?

Three reasons: mathematics is beautiful, it tells us about the natural world, and it is useful. No, four: without it, humans would still be living in caves or trees.

Beauty: the logical structure of mathematics is the best example of the power of reason that humanity has yet produced. It shows that it is possible to deduce far-reaching conclusions from simple assumptions. It is an intellectual endeavour of the highest quality, and has stimulated many of the planet's leading minds.

Nature: Galileo remarked that nature is written in the language of mathematics, and while I am inclined to reverse this and say that mathematics is the best way humans have to understand nature, the whole of science relies heavily on mathematical insights. Not just for deducing the consequences of natural laws and patterns, but to write down the laws in the first place. Even biology, which used the be the most non-mathematical science, now makes serious use of mathematics in innumerable ways.

Utility: without huge quantities of mathematics, much of it very new, today’s world would not work. The mathematics is generally hidden from view, for obvious reasons: you don’t want to make people have a degree in mathematics before they can play a CD or use the Internet. But without mathematics, neither of those things would work. The same goes for aircraft, buildings, cars, food production, movies, satellite navigation, oil exploration... We live in a world that mathematics built.

Without mathematics, humans would still be living in caves.

2.-Is there a mathematical essential structure in Cosmos, in our minds or in both? Do you find unreasonable the effectiveness of mathematics?

I don't think that the effectiveness of mathematics is quite as unreasonable as the famous quote from Eugene Wigner suggests, because mathematics has emerged from a long process of attempting to understand nature and discovering what works and what does not. However, Wigner was absolutely right in suggesting that somehow mathematics delivers more than we put into it. The ancients studied geometry to help the king collect taxes by measuring land, and then the same ideas helped to explain the motion of the planets. 18th Century investigations of violin strings led to the wave equation, which revealed the possibility of radio communications. Pure mathematicians thinking about infinite-dimensional versions of calculus invented Hilbert spaces, which then formed the basis of quantum mechanics (one of Wigner’s key examples).

We do appear to inhabit a universe that runs along mathematical lines. I don’t think that this means the universe is ‘made of’ mathematics—mathematics is a thought process, not a thing—but it does suggest very deep regularities and patterns in the natural world. I have a feeling that this happens because mathematics shows how conclusions follow from assumptions; how nature’s workings follow from underlying laws. I don’t claim to understand why nature obeys very well structured laws. I’m not religious, but I don’t think religion can explain this anyway: all it does is push the mystery back one step by attributing everything to a deity but failing to explain how that deity operates. It seems to me to be even harder to explain a god than to explain a universe.

3.-Apart from being a leading divulgator in mathematics, you are a worldwide expert in Chaos Theory. Chaos Theory is a branch of mathematics that study how some systems ruled by more or less simple differential equations can exhibit a very unstable and unpredictable behavior. This theory is extremely useful when the equations ruling those systems are well known, in order to explain anomalous behaviour (like in the three bodies problem in Astromony, where Poincare discovered Chaos). Can you provide us with some other examples where chaotic behavior (in the strict sense of the Word) is well known and documented?

My meteorologist colleagues tell me that the phenomenon of chaos is now built into the methods used to forecast weather. Chaos tells us that small differences in the measurements that are fed into a computer can - and often will - lead to big divergences in the resulting forecasts. So nowadays meteorologists run a whole series of forecasts, starting from small random variations on the actual observations. Then they take a majority vote.

Chaos is well established in many areas of science. It determines most of what is known about the long-term future of the solar system, and about its origins. The solar system is wilder and less stable than we used to think. Chaos occurs in chemistry, the physics of stars, and the medical understanding of some diseases.

For part of my research career I was a member of a team that used chaos to develop new methods for controlling the quality of wire, used in making springs. The results are widely used in the UK’s spring-making industry, and have led to big improvements in the processes employed there.

4.-Apart from physical controlled phenomena, where chaos is a well documented fact, the revival of Chaos theory is related to the Lorenz model in meteorology. The model provides an example where the full knowledge of a deterministic system is useless to do predictions, and as a result there is a consensus that precise meteorological prediction beyond a few weeks is impossible. In what natural phenomena can we find the signature of chaotic behavior as powerfully as we do in meteorology?

Biologists now have good experimental evidence for chaos in the dynamics of insect populations. A team based in Arizona has observed populations of flour beetles over many generations, and one of the things that can happen is chaotic fluctuations in the number of beetles. It is definitely not merely random: it has all of the deterministic hallmarks of true chaos in the mathematical sense.

Engineers’ understanding of friction is now based on chaos. Similar ideas help scientists understand earthquakes.

5.-Chaos theory proves that complex behavior can be the result of simple rules. But, how useful is Chaos theory to understand complex behavior when is the result of complex interactions?

A point I always make is that whether or not chaos is useful in understanding nature, it is THERE, so we have to accept that and get used to it. Fortunately, that’s not the end of the story. Nonlinear dynamics (the technical term for ‘chaos theory’) provides lots of tools and methods for investigating and understanding chaotic dynamics.

This is an excellent question, because it points to areas where those methods may not be very helpful. The essence of chaos is complex behaviour that arises from simple rules. What happens if the rules themselves are complex?

The area to which such questions belong is now called ‘complexity science’ or some similar name. This is a huge area: a recent encyclopaedia of the area runs to 10,000 pages. Often it turns out that while the ‘rules’ on some level seem very complex, they may simplify drastically on some other level. My eldest son is a programmer for Legion Crowd Dynamics, a company that models the flow of crowds in large public buildings—sports stadiums, railway stations, and so on. Now, a crowd of 100,000 people is a very complicated thing, and you might expect it to follow very complicated rules. Which, in fact, a real crowd surely does, since it consists of people, who are themselves very complicated. BUT— many useful aspects of crowd flow come from much simpler rules, about the typical way people move in a crowd. By applying those rules to 100,000 entities modelled in the computer, you can predict crowd behaviour very accurately.

6.-Apart from Chaos theory, what are in your opinion the best mathematical tools to deal with complexity? What do you think about “network theory” or “self organized criticality”?

My main research area right now is network theory, so I guess I’m biased. There is a growing feeling that many of the most important scientific problems are really about networks. Biology is a clear case: nerve cells form networks (such as the brain), ecosystems form ‘food webs’ which are networks showing which creatures eat which other creatures, and genes are regulated by networks of other genes and various biochemical molecules.

So, like it or not, we need to understand what networks can do, and why and how they do it. A lot of progress is being made on this problem.

I find the idea of self-organised criticality interesting too (you can interpret it in terms of a network, anyway). It’s easy to get carried away with enthusiasm for new ideas, and imagine they will solve everything, but I think it has a lot to offer.

We are at the beginning of a revolution: the appreciation that nature is nonlinear—effects are not proportional to causes. Nonlinearities are very powerful and flexible. They drive almost everything that happens. But developing the mathematics and science of such systems is in its infancy (chaos is just one example) and it will be a difficult task.

7.-The last financial crisis provides an example that looks, at least qualitatively like a critical transition, or an example of an auto-catalytic process. Have you done any work on the application of chaos and complexity to economic or financial science? Do you find econophysics or the application of chaos in economics promising (at least in the field of finance or in order to understand the economic cycle?).

We desperately need something better than traditional mathematical economics, which only works in very limited circumstances. Most of its assumptions about economic behaviour are wrong. This doesn’t stop it being useful (Mars is not a sphere but you can get a long way in understanding planetary orbits if you assume that it is). But it means that at some point it will break down.

Financial mathematicians are sometimes blamed for creating the current crisis, but a recent SIAM newsletter argued, I think convincingly, that the cause was too little mathematics, not too much. Bankers took ridiculous gambles with financial instruments that they didn’t understand, but they then ignored the advice of many of their mathematicians. And the task given to the mathematicians was not to understand how the economy works: it was to invent elaborate derivatives that could be used to make huge amounts of money.

I’m sceptical, however, about various approaches to finding new economics based on, say, physics. Sometimes these ideas are pushed too far, so that (say) very detailed aspects of quantum particles are projected on to the world of money, without taking care to ensure that the underlying assumptions are appropriate. I prefer the complex systems approach, pioneered by (among others) the Santa Fe Institute. There, the first question is to find out how markets and traders actually behave. Then the mathematical models are developed on that basis. I’m not happy about taking pre-existing models form other areas and trying to shoehorn economics into that framework. That said, we need all the ideas we can get.

8.-Since Alan Turing did his seminal work on biomathematics, how many progress has been made? What are your personal contributions to this discipline?

There has been a big explosion ofresearch into mathemticla biology in recentyears, and all over the world there are new centres for such acivities. At Warwuick, where I work, we have a Systems BIoloigy Centre. My main mathematicla collaborator Marty Golubitsky is now director of the Mathematicla Bisociences Institute in Ohio.

Now that biologists are gaining real understanding of the molecular machinery of life, it has turned out (some people predicted this) that knowing an organism’s DNA sequence tells you a lot, but it also fails to tell you a lot. Biological systems are very complex, and highly nonlinear. Finding out how they work is a lot harder than listing their ingredients. And any problem of the kind “here are the bits an pieces: now, what do they do and how?” is automatically mathematical.

I’ve mostly worked in a couple of areas. One is the dynamics of fairly simple networks of nerve cells. I’ve been involved in research into the patterns with which animals move their legs, and the associated neuronal networks called ‘central pattern generators’. And I’ve looked at some beautiful mathematical features of the vestibular system: how the semicircular canals in the ears help the body to maintain its balanced.

I’ve also worked on networkmodels of the formation of new species, one of the central issues in evolution. Those models show that so-called ‘sympatric’ speciation, which does not require any group of organisms to be geographically isolated from the rest, may be far more common than most evolutionary biologists thought until recently. They also show that observing gene proportions in populations is not always a good way to detect changes in species. What counts is which genes are associated with which other genes.

9.-The classical mathematics of natural selection are basically statistics, differential equations and game theory. Even now, the canonical handbooks of evolutionary mathematics look very classical. How much complexity, chaos and network theory has contributed to improve our understanding of evolution?

Mathematical biologists are starting to tackle some really interesting questions, taking us beyond the traditional linear models (mean-field proportions of alleles in a gene-pool, statistical analyses, and so on). There are many models of evolutionary dynamics, showing that - for example - genetic changes may fail to spread geographically even when there are no obvious obstacles. The discovery that the African savannah elephant is a different species form the forest elephant is a case in point. The elephants COULD interbreed, their territories are adjacent. But on the whole, they don’t.

There is a fascinating application of chaos to the introduction of a new species into an ecosystem. This shows that whether the new species survives depends not just on average features of the ecology, but on very complex details of how it is changing.

The big challenge in this area is to make the mathematical models quantitative: not just to predict that certain phenomena may occur, but to put some serious numbers to them. For example: not just to show that a new species might split off form an existing one, but to predict how long it will take to do so, and how rapidly the new species will grow.

En castellano:

1.-Nuestra primera pregunta en esta entrevista es una clásica, que muchos de los gigantes sobre cuyos hombros reposamos han respondido antes que nosotros. Más allá de las razones prácticas, ¿Por qué matemáticas?

Por tres razones: las matemáticas son hermosas, describen la realidad y son útiles. No, por cuatro: sin matemáticas los humanos seguiríamos viviendo en cuevas o árboles.

Belleza: la estructura lógica de las matemáticas es el mejor ejemplo del poder de la razón que la Humanidad ha producido. Muestra que es posible deducir conclusiones de envergadura a partir de hipótesis sencillas. Es una empresa intelectual de la máxima calidad que ha estimulado a muchas de las mentes más poderosas del planeta.

Naturaleza: Galileo remarcaba que la naturaleza está escrita en el lenguaje de las matemáticas, y aunque estoy inclinado a decir justo lo contrario, es decir, que las matemáticas son nuestra mejor herramienta para entender la naturaleza, es cierto que la ciencia depende fuertemente de las matemáticas. No solo para deducir las consecuencias de determinadas leyes y tendencias, sino para escribir estas leyes en primer lugar. Incluso la biología, que en general era la ciencia menos matematizada, ahora utiliza matemáticas complicadas de múltiples formas.

Utilidad: Sin grandes cantidades de matemáticas, muchas de ellas bastante recientes, el mundo actual no funcionaría. En general las matemáticas están ocultas por razones evidentes: no queremos que haga falta una licenciatura en matemáticas para encender un CD o usar Internet. Pero sin matemáticas ninguna de las dos cosas funcionaría. Lo mismo se puede decir de la aviación, los edificios, los coches, la producción de comida, películas, navegación por satélite, búsqueda de petróleo… Vivimos en el mundo que las matemáticas han construido.

Sin matemáticas, seguiríamos viviendo en cuevas.

2.-¿Hay una estructura matemática esencial en el Cosmos, en nuestra mente, o en ambas? ¿Le parece irrazonable la efectividad de las matemáticas?

No creo que la efectividad de las matemáticas sea tan irrazonable como sugiere la famosa cita de Eugene Wigner, porque las matemáticas han emergido de un largo proceso de intentos de comprensión de la naturaleza, y de descubrir que funciona y que no. Sin embargo Wigner tenía razón en que en cierto modo las matemáticas nos dan mucho más de lo que ponemos en ellas. Los antiguos estudiaron geometría para ayudar a los reyes a recaudar impuestos midiendo la tierra con exactitud, y las mismas técnicas sirvieron para describir el movimiento de los planetas; las investigaciones en el siglo XVIII sobre cuerdas de violín nos llevaron a la ecuación de ondas, que acabó revelando la posibilidad de la comunicación por radio. Estudios en matemática pura sobre versiones en dimensión infinita para el cálculo dieron lugar a los espacion de Hilbert, que después se demostraron básicos en mecánica cuántica (uno de los ejemplos básicos de Wigner).

Parecemos habitar en un mundo que funciona en línea con las matemáticas. No creo que eso signifique que el mundo esté “hecho de matemáticas” –que son un proceso mental, no una cosa- pero sugiere que hay regularidades y patrones en el mundo natural. Tengo la sensación de que esto ocurre porque las matemáticas muestran como las conclusiones se derivan de las premisas. Sin embargo no puedo afirmar que entienda de la misma manera porque la naturaleza sigue leyes bien estructuradas. No soy religioso, y no creo que la religión pueda tampoco explicarlo: lo único que hace es llevar el misterio un paso hacia atrás atribuyendo todo a una deidad, sin explicar como funciona. Al fin y al cabo a mi me parece más dificil explicar a Dios que al Universo.

3.-Aparte de un divulgador de primera línea en matemáticas, usted es un experto mundial en Teoría del Caos. La Teoría del Caos es una rama de las matemáticas que estudia porqué algunos sistemas regidos por ecuaciones diferenciales más o menos sencillas pueden exhibir una conducta inestable e impredecible. Esta teoría es extremadamente útil cuando las ecuaciones que rigen un sistema son muy conocidas, permitiéndonos explicar conductas anómalas (como el problema de los tres cuerpos en Astronomía, donde Poincaré encontró el Caos en primer lugar). ¿Nos puede dar otros ejemplos donde la conducta caótica (en sentido estricto) esté presente y
bien documentada?

Mis colegas meteorólogos me dicen que el fenómeno del Caos ya está incluido en los métodos de previsión del tiempo. La Teoría del Caos nos dice que pequeñas diferencias en la medición de un fenómeno cuando se le dan al computador pueden-y habitualmente hacen- que surjan grandes diferencias en las previsiones. Por tanto los meteorólogos corren una serie de previsiones utilizando pequeñas variaciones aleatorias alrededor de las mediciones, y se quedan con el resultado mayoritario.

El Caos está bien establecido en muchas áreas de la ciencia. Determina mucho de lo que sabemos sobre el futuro del sistema solar y de sus orígenes. El sistema solar es mucho más salvaje e inestable de lo que creíamos. Hay caos en química, astrofísica y en nuestra actual comprensión de algunas enfermedades.

Parte de mi carrera científica he sido miembro de un equipo que utilizaba la teoría del caos para controlar la calidad de los cables de acero utilizados para construir amortiguadores. Los resultados de nuestra investigación se usan ampliamente en la industria británica de los amortiguadores y han dado lugar a grandes mejoras.

4.-Aparte de algunos fenómenos físicos controlados donde el caos está bien documentado, el renacimiento de la Teoría del Caos está relacionado con el modelo de Lorenz en meteorología. Dicho modelo da un ejemplo donde un conocimiento completo de un modelo determinístico es inútil para hacer predicciones y como consecuencia , hacer predicciones más allá de unas pocas semanas es imposible. ¿En que fenómenos naturales encontramos la firma del Caos con tanta fuerte como en la meteorología?

Los biólogos tienen evidencia experimental de caos en la dinámica de las poblaciones de insectos. Un equipo de Arizona ha observado poblaciones de escarabajos durante muchas generaciones y han observado que el número de escarabajos fluctúa caóticamente. No es meramente aleatorio; tiene todas las características del Caos en términos matemáticos. Los ingenieros entienden la fricción en términos de Caos. Ideas similares ayudan a los científicos a entender los terremotos.
5.-La Teoría del Caos demuestra que la conducta compleja puede ser el resultado de reglas sencillas. ¿Pero como de útil es la Teoría del Caos para entender la complejidad cuando eran el resultado de interacciones complejas?

Algo que siempre digo, es que no se trata de si el Caos es útil para entender la naturaleza, sino de que está ahí, así que tenemos que aceptarlo y acostumbrarnos a él. Afortunadamente, este no es el fin de la historia. La dinámica no lineal (el nombre técnico de la Teoría del Caos) nos da herramientas y métodos para investigar y entender la dinámica caótica.

Esta pregunta es por tanto excelente, porque señala campos en los que estos métodos pueden no ser muy útiles. La esencia del caos es que ciertos comportamientos complejos son el resultado de reglas sencillas. ¿Pero que pasa si las reglas mismas son complejas?

La rama de la ciencia que responde a esas preguntas se llama “Ciencia de la complejidad”, o recibe un nombre similar. Es un área enorme: una enciclopedia reciente de este campo tiene unas 10.000 páginas. A veces, aunque las leyes que rigen estos fenómenos a cierto nivel, a veces se simplifican drásticamente a otra escala. Mi hijo mayor es programador de “Legion Crowd Dynamics”, una empresa que modeliza el movimiento de las multitudes en grandes edificios públicos-estadios, estaciones de tren, y cosas así. Ahora, una multitud de 100.000 personas es algo muy complicado, y es razonable esperar que siga reglas muy complejas. Lo que es así, ya que una multitud es muy complicada, al estar formada de personas, que son en si mismas muy complicados. PERO, -muchos aspectos útiles del movimiento de las multitudes siguen reglas mucho más sencillas, basadas en como se mueve un agente típico en una multitud. Aplicando esas reglas a 100.000 agentes simulados en un ordenador se puede predecir el movimiento de las multitudes con mucha precisión.

6.-Aparte de la Teoría del Caos ¿Cuáles son las mejores herramientas para tratar con la complejidad? ¿Qué piensas de la teoría de redes y la criticalidad auto-organizada?

Ahora mi campo de investigación principal es la teoría de redes, luego es posible que esté sesgado. Existe una creciente sensación que muchos de los problemas científicos más importantes son sobre redes. La Biología es un caso claro: las células nerviosas forman redes (como el cerebro), en los ecosistemas se forman “cadenas tróficas”, que son redes que representan como unas criaturas se comen a otras, y los genes están reguladas por redes de otros genes y otras moléculas.

Luego, nos guste o no, debemos entender que pueden hacer las redes, y como lo hacen. Se ha hecho mucho progreso en esta clase de problemas. También encuentro interesante la idea de la Criticalidad Auto-organizada (que se puede expresar en términos de redes). En todo caso a veces es fácil dejarse llevar por ideas nuevas, y quizá creer que lo pueden resolver todo, pero creo que estos conceptos tienen mucho que ofrecer.

Estamos al principio de una revolución: la comprensión de que la naturaleza es no-lineal (los efectos no siempre son proporcionales a las causas). La no-linealidad es potente y flexible. Dirige casi todo lo que ocurre. Pero el desarrollo de las matemáticas y la ciencia de estos sistemas está en su infancia (la teoría del caos es un ejemplo), y se trata de una tarea difícil.

7.-La última crisis financiera nos ha dado un ejemplo que al menos cualitativamente parece una transición crítica, o un ejemplo de proceso autocatalítico. ¿Ha realizado algún trabajo de aplicación de la teoría del caos y la complejidad a las finanzas? ¿Encuentra la Econofísica o la aplicación de la Teoría del Caos en economía interesante (al menos en el campo de las finanzas o en el estudio del Ciclo?)

Necesitamos desesperadamente algo mejor que la economía matemática tradicional, que solo funciona bajo circunstancias muy limitadas. La mayor parte de sus hipótesis son equivocadas; esto no quiere decir que no sean útiles (Marte no es una esfera, pero puedes llegar muy lejos a la hora de entender las orbitas planetarias bajo esa hipótesis). Pero significa que en algún punto, la teoría deja de funcionar.

Los matemáticos financieros han sido culpados en muchos casos por crear la crisis, pero una nota de SIAM argumenta, creo que convincentemente, que la causa ha sido más “pocas matemáticas” que demasiadas. Los banqueros hicieron apuestas absurdas con instrumentos que no entendían e ignoraron el consejo de sus matemáticos. Y el trabajo que habían dado a los matemáticos no era entender el funcionamiento de la economía, sino elaborar derivados que se pudiesen usar para ganar mucho dinero.

Soy escéptico, sin embargo hacia varias aproximaciones a una nueva economía basadas por ejemplo en Física. Algunas de esas ideas se han llevado demasiado lejos, y algunos aspectos muy detallados de la física cuántica de partículas se han intentado proyectar en el mundo del dinero, sin asegurarse de que las hipótesis subyacentes sean correctas. Prefiero una aproximación basada en sistemas complejos, como la liderada desde el Instituto de Santa Fe. Allí la cuestión es empezar por entender como funcionan los mercados y sus participantes. Entonces, se construyen modelos matemáticos sobre esa base. No estoy de acuerdo en utilizar modelos de otras áreas de la ciencia, y tratar de meter con calzador la economía en tales modelos. En todo caso, todas las ideas son bienvenidas.

8.-Desde que Alan Turing realizó su trabajo original sobre biomatemáticas ¿Cuánto progreso se ha hecho? ¿Cuáles son sus contribuciones personales a la disciplina?

Ha habido una explosión de investigación en biología matemática en los últimos años, y en todo el mundo hay nuevos centros para estas actividades. En Warwick, donde yo trabajo, tenemos el Centro de Sistemas Biológicos. Mi principal colaborador Marty Golubitsky es directos del Centro de Biociencias de la Universidad de Ohio.

Ahora, los biólogos están alcanzando una verdadera comprensión de la maquinaria de la vida, y ha resultado (como mucha gente esperaba) que el conocimiento de la secuencia del ADN dice mucho, pero también deja mucho sin decir. Los sistemas biológicos son complejos y fuertemente no lineales. Entenderlos es algo mas que enumerar sus componentes. Y cualquier problema del tipo “estas son las piezas: ahora ¿que hacen y como?” es automáticamente matemático.

Yo he trabajado principalmente en dos áreas. Una es la dinámica de algunas redes neuronales sencillas. Por ejemplo he investigado como mueven las piernas algunos animales, y en las redes neuronales asociadas a ese movimiento llamadas “generador central de patrones”. Y he analizado algunas características matemáticas particularmente elegantes del sistema vestibular: por ejemplo como ciertos canales en los oídos ayudan a mantener el equilibrio del cuerpo.

También hemos hecho algunos modelos reticulares sobre la formación de nuevas especies, un asunto fundamental en la evolución. Estos modelos dicen que la llamada especiación simpátrica, que no exige aislamiento geográfico, puede ser mas habitual de lo que creían los biólogos hasta hace poco.

También demuestra que observar las proporciones de ciertos genes en una población no es siempre una buena forma de medir los cambios en las especies. Lo que importa es como unos genes se relacionan con otros.

9.-Las matemáticas clásicas de las selección natural son básicamente estadísticas, ecuaciones diferenciales y teoría de juegos. Hasta ahora los libros canónicos de la disciplina han sido muy clásicos. Cuanto han contribuido la complejidad, el Caos y la teoría de redes a mejorar nuestra comprensión de la evolución?

Los biólogos matemáticos empiezan a entender algunas cuestiones interesantes, que nos llevan más allá de los modelos lineales (proporciones medias de alelos en el pool genético, análisis estadístico y esas cosas). Ahora hay muchos modelos de dinámica evolutiva que muestran-por ejemplo- que los cambios genéticos pueden no extenderse geográficamente incluso sin obtáculos geográficos. Por ejemplo, el elefante africano de la sabana es una especie distinta que la del bosque. Ambos elefantes podrían cruzarse, puesto que viven en territorios contiguos, pero en general prefieren no hacerlo.

Hay una aplicación fascinante del Caos cuando se introducen nuevas especies en un ecosistema. Eso demuestra que el hecho de que una nueva especie pueda sobrevivir no solo depende de características medias de la ecología sino de algunos detalles complejos, y como estos cambian.

El gran desafío es hacer los modelos cuantitativos, para predecir no solo que ciertos fenómenos pueden ocurrir, sino para cuantificarlos. Por ejemplo, no solo se trata de demostrar que una nueva especie puede separase de otra, sino predecir cuanto tardará en separase, y como crecerá después.