La capacidad matemática parece ser un atributo característicamente humano, al menos en sus manifestaciones más sofisticadas. Una aritmética y capacidad numérica elementales pueden observarse en otras especies, pero la profusión simbólica, cumbre del pensamiento abstracto, de las matemáticas humanas, acompaña al también simbólico lenguaje en el panteón de nuestras singularidades. Los dos tienen en común el carácter simbólico y abstracto. Dada su estrecha relación podríamos inclinarnos a derivar uno del otro y, siendo el lenguaje un fenómeno más extendido y naturalmente adquirido, la matemática sería simplemente un lenguaje más abstracto. Aunque también podríamos suponer que ambos, tanto lenguaje como matemáticas, serían expresión de una capacidad simbólica y de abstracción subyacente, independiente de estas sus dos principales y más notorias manifestaciones. El cerebro humano es el producto de una larga evolución, acelerada en tiempos geológicamente recientes. El resultado del acelerón evolutivo ha sido un mayor tamaño en proporción al cuerpo, como constata la alometría, pero también, como señala el neurocientífico Michael Gazzaniga, un drástico cambio organizativo, que podría tener su origen en unos pocos genes. Siguiendo la argumentación de Gazzaniga, emplearemos su metáfora: al crecer el cerebro sucede algo similar a lo que sucede cuando crece una organización empresarial, esto es, que el mayor tamaño demanda nuevas áreas y competencias. En algún momento de nuestra evolución como especie, pues, nuestro cerebro adquirió la capacidad de manejar objetos y relaciones abstractos con suficiente soltura para iniciar el despegar de la cultura.
Pero ¿Cuándo? ¿Y de acuerdo con qué presiones evolutivas? Más de un autor considera que el origen de nuestra capacidad simbólica y de abstracción superiores está en el trato social. Entre ellos se encuentra nuestro invitado de hoy, Keith Devlin, matemático británico-estadounidense, Profesor de la Universidad de Stanford, y conocido por su labor divulgativa. Uno de los más excelentes productos de esta labor es su libro The Math Gene, en el que presenta algunas interesantes ideas sobre cómo pudo evolucionar nuestra capacidad matemática.
El primer lenguaje, o protolenguaje, sostiene, pudo surgir como una necesidad social, en forma de chismorreo, cháchara, parloteo, sobre problemas sociales, en el que los objetos abstractos serían los diversos individuos del medio social, y los nexos lógicos las relaciones entre ellos. Se dio con posterioridad una coevolución genes-cultura que hizo más grandes y mejor organizados nuestros cerebros así como más complejo y abstracto nuestro modo de comunicarnos. Lo que en un principio eran objetos sociales y sus relaciones, en el protolenguaje, pudo alcanzar el cenit de la abstracción pura, por completo desligada de la realidad inmediatamente perceptible o imaginable, que es la matemática avanzada. Hoy en día vivimos en una sociedad tecnológicamente desarrollada cuyos cimientos son, en gran medida, matemáticos. Seguimos de cháchara, la mayor parte del tiempo, pero necesitamos la abstracción matemática para gran parte de nuestra actividades diarias. El intercambio verbal original, casi puro acicalamiento de palabra, llevó a otras formas de intercambio, que requirieron una medida, una cuantificación. Se desarrolló el comercio y la sociedad humana se ajustó cada vez a su medio. La economía de la naturaleza exigió una cada vez mayor economía de medios, y los números contribuyeron poderosamente a lograrla. Keith Devlin ha tenido la amabilidad de respondernos unas preguntas, puestas en inglés por José Miguel Guardia. Las respuestas las tradujo al castellano Marzo Varea.
En inglés:
1. What kind of cognitive tool is mathematical ability?
It's really just one of several cognitive frameworks for individuating the world, together with a category of procedures for reasoning about it. It may be applied recursively. It is distinguished by the high level of abstraction and the formal logical requirements on the reasoning processes. The processes do not have to be formal logical but they must be consistent with formal logic.
2. What does mathematics reflect and reveal about reality?
It provides us a very precise picture of the structure of reality as we perceive it. This means it is at least as indicative of our cognition as of the world around us.
3. What's in the brain of the great geniuses of mathematics that there is not in other people's?
Probably nothing. Certainly, brains vary in their capacity as do other organs. Just as an olympic sprinters do not have anything different in their muscles, rather they are simply better suited to running fast than those of most other people, so too with brains and mathematics. Among those individuals whose brains are simply innately better suited to doing mathematics, what creates the mathematical genius is an intense interest in mathematics and the drive and psychological profile to devote huge amounts of time to its pursuit.
4. What would you say is the relationship between mathematics and language?
It depends what you mean by language. If you are thinking purely of symbol systems (essentially syntax), then all of the following have validity:
§ mathematics may be defined by language
§ mathematics has a language (in which it may be expressed)
§ mathematics is a language — indeed best the language to describe the universe according to Galileo — though it is much more than that.
If you take a deeper view that language is a structured cognitive framework for understanding, reasoning about, and communicating about the world, them mathematics is an instance of a language.
5. We have a capacity for approximate calculation. When did we need to be more accurate?
The first known occurrence, based on archeological evidence was at least 35,000 years ago, when our ancestors made notches in bones (and presumably sticks as well), probably for various calendar and ownership purposes. In Sumeria some 10,000 years ago, society became sufficiently complex to require a systematic method for recording ownership and regulating trade, and that gave rise to abstract numbers.
6. How does mathematical ability develop in children? For the development of mathematical abilities, what part belongs to nature and what part belongs to learning?
We know very little. Very elementary mathematical concepts (sets, numbers, lines, volume, etc.) seem to be abstracted from our environment as we grow up. We have very little idea how we learn or do the simplest mathematical procedures with those elementary concepts, such as elementary arithmetic. It seems fairly clear that advanced mathematics is not at all natural, and must be learned as a formal symbol game, for which a bootstrapped meaning emerges with practice.
7. What mathematical abilities can be found in non-human animals?
Navigation by migrating creatures is the most dramatic example I know. Though the creatures are simply following their instincts, when we express their activity in terms meaningful to humans we have to describe their behavior as doing trigonometry (or at least solving trigonometric problems). If you sharpen the question to mean symbolic mathematics, you find some rudimentary examples. Number sense has been observed in several species. This is a general comparative sense of sizes of collections. Also a continuous analogue that I'll call volume sense. A few species can be trained to respond to cardinalities of small collections of objects (up to 20 or so for some monkeys), with some indication of the ability to recognize the result of simple addition sums. The training cycle is generally much longer than required for young children, and performance is never error free.
8. What are you now working on?
Two projects. One is a project for the U.S. Defense Department to finds ways to improve intelligence analysis, the other is the development and use of video games for mathematics education. I've also become interested in the history of mathematics, and have just completed my second history book.
En español: 1. ¿Qué clase de instrumento cognitivo es el lenguaje?
En realidad es sólo uno de varios marcos cognitivos para individuar el mundo, junto con una categoría de procedimientos para razonar acerca de él. Puede aplicarse recursivamente. Se distingue por el alto nivel de abstracción y los requerimientos lógicos formales sobre los procesos de razonamiento. Los procesos no precisan ser de lógica formal pero deben ser consistentes con la lógica formal.
2. ¿Qué refleja la matemática de la realidad? ¿Qué revela acerca de ella?
Nos proporciona un cuadro muy preciso de la estructura de la realidad tal como la percibimos. Esto significa que es al menos tan indicativa de nuestra cognición como del mundo que nos rodea.
3. ¿Qué hay en el cerebro de los grandes genios de la matemática que no haya en los de otras personas?
Probablemente nada. Ciertamente, los cerebros varían en capacidad tal como lo hacen otros órganos. De la misma manera que los velocistas olímpicos no tienen nada diferente en sus músculos, sino que estos simplemente están mejor dispuestos para correr con rapidez que los de la mayoría de las demás personas, así ocurre también con los cerebros y la matemática. Entre los individuos cuyos cerebros simplemente están innatamente mejor dispuestos para la matemática, lo que crea el genio matemático es un intenso interés en la matemática y el impulso y el perfil psicológico que permiten dedicar enormes cantidades de tiempo a este empeño.
4. ¿Cuál diría usted que es la relación entre la matemática y el lenguaje?
Depende de lo que quiera usted decir con 'lenguaje'. Si piensa simplemente en sistemas simbólicos (esencialmente sintaxis), entonces todas las siguientes afirmaciones tienen validez:
§ la matemática puede definirse mediante el lenguaje
§ la matemática tiene un lenguaje (en el que puede expresarse)
§ la matemática es un lenguaje, en verdad el mejor lenguaje para describir el universo según Galileo, aunque es mucho más que eso
Si adopta usted el punto de vista más profundo de que el lenguaje es un marco cognitivo estructurado que permite entender, razonar y comunicar acerca del mundo, entonces la matemática es un ejemplo de lenguaje.
5. Somos capaces de hacer cálculos aproximados. ¿Cuándo surgió la necesidad de una mayor precisión?
El primer caso conocido, según la evidencia arqueológica, fue hace al menos 35.000 años, cuando nuestros antepasados hicieron marcas en huesos (y presumiblemente también en palos), probablemente para diversos fines de calendario y de propiedad. En Sumeria, hace unos 10.000 años, la sociedad se hizo lo bastante compleja como para requerir un método sistemático para registrar la propiedad y regular el comercio, y eso dio lugar a los números abstractos.
6. ¿Cómo se desarrolla la capacidad matemática en los niños? ¿Qué parte es innata y cuál corresponde al aprendizaje?
Sabemos muy poco. Algunos conceptos matemáticos muy elementales (conjuntos, números, líneas, volumen, etc.) parecen ser abstraídos de nuestro entorno según crecemos. Sabemos muy poco sobre cómo aprendemos o llevamos a cabo los más sencillos procedimientos matemáticos con esos conceptos elementales, por ejemplo la aritmética elemental. Parece bastante claro que la matemática avanzada no es natural en absoluto y debe aprenderse como un juego simbólico formal, para el cual con la práctica va emergiendo un significado.
7. ¿Qué capacidades matemáticas pueden hallarse en animales no humanos?
La navegación de las criaturas migratorias es el ejemplo más dramático que conozco. Aunque estas criaturas simplemente están siguiendo sus instintos, cuando expresamos su actividad en términos significativos para los seres humanos debemos describir su conducta como hacer trigonometría (o al menos resolver problemas trigonométricos). Si se afina la pregunta para referirse a la matemática simbólica, hay algunos ejemplos rudimentarios. Se ha observado un sentido de los números en varias especies. Se trata de un sentido comparativo general de los tamaños de colecciones. También un análogo continuo que yo llamaría un sentido del volumen. Unas pocas especies pueden ser entrenadas para responder a la cardinalidad de pequeñas colecciones de objetos (hasta veinte o así para algunos monos), con alguna indicación de la capacidad de reconocer el resultado de sumas sencillas. El proceso de entrenamiento es en general mucho más largo que el necesario con niños pequeños, y la ejecución no está nunca exenta de errores.
8. ¿En qué trabaja ahora?
Dos proyectos. Uno es para el Ministerio de Defensa de los Estados Unidos, para hallar modos de mejorar el análisis de inteligencia; el otro es el desarrollo y uso de videojuegos para la educación en matemática. También me he interesado por la historia de la matemática, y acabo de terminar mi segundo libro de historia.
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